判断推理 論理
命題の記号化
「～である」「～でない」のように、正しいか否かを断定できる文を命題という。「犬ならば動物である」のように「～ならば」という条件がある場合を条件命題という。
「AならばBである」という条件命題は A→B と記号で表すことができる。Aを条件、Bを結論という。
「Aでない」という否定はĀと記号化する。「AならばBでない」という条件命題は、A→̄Bと記号化する。
命題と対偶
「犬ならば動物である」が正しとき、これを以下のように変形できる。
- 命題…犬ならば動物である。（犬→動）…正しい
- 逆……動物なら犬である。（動→犬）…必ずしも正しくない。
- 裏……犬でないならば動物でない。（犬‾→動物¯）…必ずしも正しくない。
- 対偶…動物でないならば犬でない。（動¯→犬¯）…正しい
二重否定
「Aではない」の否定「Aではないということはない」は、Aの二重否定であるが、これはAの肯定「Aである」に一致する。
二重否定を用いると、以下のように否定を含む命題の対偶をとることができる。
- A→B¯…対偶B→A¯
- Ā→B… 対偶…B¯→A
- Ā→B¯…対偶…B→A
三段論法
「A→B」という命題と「B→C」という命題が成り立つとき、これをつなげて「A→B→C」とし、ここから「A→C」という命題を導くことができる。これを三段論法という。
「かつ」と「または」
「AかつまたはBある」…AでもありBでもある。（AもBも両方成り立つ）
「AΛB」と記号化される。
「AまたはBである」…AであるかまたはBである。（AかBの少なくとも一方が成り立つ）
「AVB」と記号化される。
命題の分解
結論に「かつ」が含まれる条件命題及び条件に「または」が含まれる条件命題は以下のように命題を分解することができる。
A→BΛC…A→B
A→C
AVB→C…A→C
B→C
次の命題の対偶はどれか。
「朝食をとる人は、健康だ」
- 健康な人は朝食をとる。
- 朝食をとらない人は不健康である。
- 健康でない人は、朝食をとらない。
- 朝食をとらない人は、健康である。
解答 正答３
元の命題を記号化する 朝→健
対偶をとる 健̄→朝¯
選択肢を記号化する
- 健→朝
- 朝̄→健̄
- 健̄→朝¯
- 朝¯→健
正答の理由
1．逆になっている。
2．裏となっている。
3．対偶にまっている。
4．違う。
成績のよいものは山登りが好きである。小説の好きなものはおしゃれである。小説の好きなものは成績がよい。
以上のことが成り立つとき、確実にいえるものは次のどれか。
- 成績のよいものはおしゃれである。
- おしゃれなものは山登りが好きである。
- 山登りが好きなものは小説が好きである。
- 小説が好きなものは山登りが好きである。
- 成績のよいものは小説が好きである。
解答 正答4
元の命題を記号化する。 成→山
小→お
小→成
つなげる
「小」から始まり 小→成→山
「お」と「成」の 小→お
２つに分かれる
選択肢を記号化する。
1．成→お
2．お→山
3．山→小
4．小→山
5．成→小
正答の理由
4．流れにのっている。
倫理の得意な人は世界史が好きである。国語の得意な人は数学が好きであり、かつ倫理が得意である。
世界史の得意な人は地理が好きである。
以上から論理的にいえるものは、次のどれか。
- 倫理の得意な人は数学が好きである。
- 数学の得意な人は地理が好きである。
- 世界史の得意な人は数学が好きである。
- 国語の得意な人は世界史が好きである。
- 地理の得意な人は倫理が好きである。
解答 正答４
記号化する。
「かつ」を分解する。
倫得→世好
国得→数好Λ倫得
↓
国得→数好
国得→倫得
世得→地好
つなげる
国得→倫得→世好
➘数好
世得→地好
選択肢を記号化する
1．倫得→数好
2．数得→地好
3．世得→数好
4．国得→世好
5．地得→倫好
正答の理由
4．流れにのっている。